Funcion Cuadratica

FUNCIONES CUADRÁTICA 

Las funciones cuadráticas también conocidas con el nombre de funciones de segundo grado. Estas funciones se caracterizan por tener la variable independiente al cuadrado y su gráfica se denomina parábola, la ecuación general que la define es f(x) = ax² + bx + c donde A,B y C son números reales con A  ¹ O .

Una parábola es el conjunto de puntos en un plano que equidistan de un punto fijo y de una linea fija llamada foco (F) y directriz, respectivamente.

De acuerdo con la definición de función cuadrática, esta se puede tener uno, dos o tres términos. Lo anterior quiere decir que existen formas incompletas y una forma completa, teniendo en cuenta el numero de términos; luego se puede clasificar la función cuadrática así :



Formas incompletas :

f (x) =  ax²

g (x) = ax² + bx

h(x) = ax² +c

Forma completa:

f(x) = ax² + bx + c , con a,b,c   R  y a ¹ O

Análisis gráfico de la función cuadrática :

Un analisis grafico de cada una de las formas de la funcion cuadratica, nos permite apreciar las características especiales que tienen. Sabemos cómo se puede graficar una función : Se elabora una tabla de valores que satisfaga la función dada y, luego, se ubican dichos valores en un sistema de coordenadas para trazar el gráfico correspondiente.



- Función cuadrática de la forma f (x) =  ax² 

Para el analisis se propondrán funciones de esta forma, dándole valore particulares al coeficiente a. Igualmente se asignaran valores arbitrarios a x para obtener el respectivo  f (x).

Ejemplo : 

Realice las gráfica de la siguiente función cuadratica :


f (x) =  2x² 

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
F(x)	18	8	2	0	2	8	18

 - Función cuadrática de la forma f (x) =  ax² + bx :

Efectuar la gráfica de la función:
  

f (x) =  2x² - x

x	-2	-1	0	1	2
F(x)	10	3	0	1	6

- Función cuadrática de la forma f (x) =  ax² + c 


En la función de la forma  f (x) =  ax² + c , el valor c es constante. Para representar la grafica de esta forma, basta reemplazar el coeficiente y el termino independiente c, por valores numéricos. En forma similar a las anteriores, se establecen valores arbitrarios a x para obtener el respectivo f(x).   

Graficar la funcion  f (x) = 2x²+3

x	-2	-1	0	1	2
F(x)	11	5	0	5	11

- Función cuadrática de la forma f(x) = ax² + bx + c 

Por ultimo, se analizara la función cuadratica en su forma completa. Ahora aparecen todos sus elementos . Coeficientes, variables, términos independientes, etc , a los que se les dara valores numéricos que reemplacen los términos a,b,c, y x.

En una funcion cuadratica, el coeficiente del termino elevado al cuadrado, determina la abertura de la parabola, y el signo del mismo indica hacia donde se abre dicha curva , es decir , arriba o abajo .

Ejemplo :

- f(x) = -2x² - 3x + 3 

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
F(x)	-30	-17	-8	-3	-2	-5	-12

Observa como el signo del primer termino es el que indica hacia donde abre la curva , ademas , el valor del ultimo termino , es decir, c es el que indica en donde la parábola corta el eje y.

Formula para hayar el vertice de la funcion cuadratica :


El vértice también determina dónde se encuentra el eje de simetría de la ecuación (x). La fórmula para hallar el valor x del vértice de una ecuación cuadrática es x = -b/2a. Introduce los valores pertinentes para calcular x. Sustituye los valores de a y de b y resuelve:

• x=-b/2a
• x= -(9)/(2)(1)
• x= -9/2

Sustituye x en la ecuación original por su valor numérico para hallar el valor de y. Ahora que conoces x, solo tendrás que introducir su valor numérico en la fórmula original para hallar y. Puedes pensar en la fórmula para hallar el vértice de una función cuadrática de la siguiente forma: (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]. Esto simplemente significa que para calcular el valor de y es necesario despejar la incógnita x utilizando la fórmula, para después introducir el valor numérico hallado en la ecuación.

• y = x² + 9x + 18
• y = (-9/2)² + 9(-9/2) +18
• y = 81/4 -81/2 + 18
• y = 81/4 -162/4 + 72/4
• y = (81 - 162 + 72)/4
• y = -9/4

Este vídeo les puede ayudar a entender mejor el análisis de una función cuadrática .